|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Rekenen met machten
Beste medewiskundigen,
Bij een artikel over een gokspelletje hoort de volgende formule m.b.t de duur van het spel:
D(k)= 1/2D(k+1)+1/2D(k-1)+1
D(k)= de gemiddelde duur van het spel bij een
beginkapitaal k van een van de spelers.
De homogene vergelijking is ons gegeven en begrijpen we.
(D(k)= 1/2D(k+1)+1/2D(k-1) is gelijk aan D(k)=ck +D(0)=ck)
Nu moeten we nog een zogenoemde particuliere oplossing van de als eerst gegeven vergelijking vinden. Uit; -2k2=-(k+1)2-(k-1)2+2 volgt dat D(k)= -k2 een oplossing is van de eerst genoemde vergelijking. Gezegd wordt dat de algemene oplossing van de differentievergelijking D(k)= -k2+ck
Hoe komen ze aan de particuliere oplossing,
bij voorbaat dank.
Hoogachtend,
N. Hoogland
Antwoord
1. Bij de oplossing van de homogene vergelijking moet je D(0) niet zomaar wegleten; die oplossing is en blijft: D(k)=ck+d.
2. Dat -k2 een oplossing is volgt uit de algemene theorie van differentievergelijkingen: herschrijf de vergelijking als D(k+1)-2D(k)+D(k-1)=-2. Dan zie je dat de rechterkant een oplossing van de homogene vergelijking is (D(k)=2 is een oplossing dus); in zo'n geval kun je een particuliere oplossing vinden door die 2 met k of met k2 en een onbekende constante te vermenigvuldigen en dat in de vergelijking in te vullen. Hier is ck ook een oplossing van de vergelijking, dus moet je ck2 proberen; na invullen krijg je c((k+1)2-2k2+(k-1)2)=-2. Je vind dan c=-1.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
